Alejandro Martín Maldonado - Las paraditas intervaladas

Alejandro Martín Maldonado
Ejercicios: Las paraditas intervaladas
Entregar: lunes 25 de Febrero. En clase hicimos un análisis rápido del problema de las "paraditas interpuestas". Aunque aclaramos una parte de la demostración, no pareció haber quedado bien explicado el argumento de Carino. Yo pensé que en la demostración de la falsedad de una proposición utilizaba como supuesto su negación, pero en eso estaba equivocado. Leibniz usa la "ley de no-saltos" (que es una de las consecuencias de su ley de continuidad) pero ésta es distinta de la negación de la proposición que intenta probar. Además usa otra ley que no enuncia y que yo resaltaré en el momento que sea utilizada. Por lo tanto hice un análisis detallado del argumento, aclarando el modelo que se hace del mismo (las letras que se utilizan y su representación gráfica), y señalando cada paso y presupuesto utilizado. La tarea de ustedes tiene dos partes: Hacer lo mismo que yo hago pero con otra argumentación dentro del diálogo. Es importante que resalten los presupuestos explícitos e implícitos (y dentro de lo posible que les den nombres) y que quede clara la estructura del argumento. Es clave también que ustedes opinen y digan si les parece que el argumento es válido o no, indicando bien porqué. Si el argumento puede ser corregido ustedes deben presentar la corrección y si creen que demuestra una proposición que es falsa pues ustedes demuestran su falsedad. El argumento de las paraditas tiene dos partes. La primera demuestra lo que se propone de manera casi impecable (aunque un poco enredada). La segunda, en cambio, es superficial y no me deja nada satisfecho. Al final del texto yo señalo cuál es el problema que veo e identifico la pregunta clave a responder. Les dejo a ustedes el turno ahora de buscar una respuesta, sé que es difícil, pero si alguno logra hacerlo muy probablemente habrá entendido el diálogo mucho mejor que yo. ARGUMENTO DE LAS PARADITAS Anteriormente a la argumentación se ha establecido: LEY DE NO-SALTOS: dados dos lugares, si el móvil va de uno a otro, tiene que pasar por todos los lugares intermedios. Con esto como base Carino demuestra que si la distancia entre dos momentos es mínima, la distancia entre los lugares que ocupa en esos momentos también debe ser mínima. [cambio de página 83-84] Definición de movimiento continuo: movimiento en el cual el cuerpo en cada lugar no existe más que un momento. Es decir no descansa, no permanece, no está quieto en ningún lugar. Es decir, el movimiento continuo no se interrumpe, no se parte en otros movimientos, es UN solo movimiento. Aquí continuo significa como por lo general "sin rupturas", es importante recalcar que lo que estamos afirmando que no se rompe (no se interrumpe) es el movimiento. "Quiero llamar continuum a algo que no se interrumpe nunca por ningún reposo, o que puede durar talmente que el cuerpo no exista en ningún lugar (igual a sí) AB.CD.EF, o en los lugares intermedios, más que un momento." [84] Lo contrario del movimiento continuo es el movimiento con paradas intervaladas. Es decir, un movimiento no continuo es un movimiento con paradas intermedias. Pregunta Central: Dado un movimiento no continuo, es decir, en el que se dan paradas intervaladas, ¿todo movimiento intermedio está también interrumpido por paradas? Pacidio lo que quiere mostrar es que el movimiento no puede estar siempre interrumpido por reposos. Y que el hecho de que se dé el movimiento implica que en durante algún lapso de su duración total el movimiento fue continuo. Es decir, que si hay movimiento, hay movimiento continuo. [Es más, lo que quiere probar es que todo movimiento está compuesto de movimientos continuos y de reposos. Es decir, que todo movimiento que sea propiamente UN movimiento es continuo] PRIMERA ARGUMENTACION DE CARINO Para comenzar consideramos un movimiento con paradas intervaladas (no continuo). Pacidio: ¿Entre las dos paradas hay movimiento? Carino: Sí, a no ser que en vez de paradas a intervalos queramos una parada continua. Pacidio: El tal movimiento interpuesto: o bien es momentáneo, o dura algún tiempo. [84] Entonces la pregunta que Carino debe responder es: ¿Es momentáneo el movimiento entre las paradas? Para su respuesta Carino asigna letras a los momentos y lugares claves (señalados, marcados) del movimiento que se está examinando. Utiliza las primeras del alfabeto para los lugares y las de la segunda mitad (a partir de M) para los tiempos. MODELO DEL MOVIMIENTO: El cuerpo se mueve de A a E durante el tiempo NQ . Primer reposo: En A está durante el tiempo MN Segundo reposo: En C está durante el tiempo OP Por lo tanto, NO es el tiempo del paso de A a C. Lugar de llegada: E PQ es el tiempo del movimiento de C a E . Representando el espacio horizontalmente y el tiempo verticalmente se vería así: A C E -------------------------------------------------------------------------------- M N O P Q Tenemos entonces un movimiento de A hasta E que dura un tiempo NQ interrumpido por una parada en C tal que entre dos paradas (en A y en C) hay movimiento. Por lo tanto se cumplen las condiciones propuestas y se ha avanzado al identificar y nombrar los momentos claves del movimiento que vamos a analizar. Una vez planteado el problema de esta manera Carino se dispone a responder la pregunta, pero antes hace una suposición que es fundamental: AC y CE son dos distancias no mínimas. () "Y pongo que AC, CF son intervalos no mínimos, sino cualesquiera otros, p.e. la centésima parte de un jeme..." [85] Carino quiere mostrar que: el movimiento no es momentáneo. Y lo va a hacer por contradicción (reducción al absurdo). Suponemos: el movimiento de A a C es momentáneo. Por lo tanto, entre los momentos N y O no hay ningún momento. Pero, AC es no mínima, es decir, hay algún lugar entre A y C, llamémoslo L. Entonces hay dos posibilidades para L: En ningún momento el móvil está en L. En ese caso habría un SALTO. Esto contradiría nuestra "ley de no saltos". En algún momento el móvil está en L. Pero entre los momentos N y O no hay ningún otro momento. Por lo tanto sólo podría estar en N o en O. Pero como L es un sitio distinto de A y C tendríamos a nuestro móvil en un mismo momento en dos lugares distintos y eso sería contradictorio. En este caso no se había afirmado antes la ley que se contradiría y tenemos que resaltarla. Esta podría enunciarse así: "un móvil no puede estar en un mismo momento en dos sitios distintos." En ambos casos llegamos a contradicción, por lo tanto nuestra suposición inicial no era posible y queda demostrado que: "el movimiento de A a C no es momentáneo". Es importante tener claro lo que se demostró [y quedó bien demostrado]: "Dadas dos paradas en dos lugares que están a una distancia no mínima el movimiento de un sitio a otro no pudo ser momentáneo." COMENTARIO () Merece ser anotado que parece haber una ambigüedad en lo que Leibniz entiende por distancia mínima. Al pensar una distancia no-mínima (la que hay entre A y C) Leibniz escoge al azar "un céntésimo de jeme" dando a entender que bien pudo ser un milésimo o millonésimo; esto indicaría que un mínimo sería menor que cualquier n-ésima parte de un jeme. Distancia no mínima parece ser lo mismo que llama "distancia asignable" y que mediría una cierta parte de jeme. La pregunta sería entonces ¿cuánto mide una distancia mínima? Y esto nos lleva a preguntarnos: ¿en verdad puede componerse una "distancia asignable" de una suma de "distancias mínimas"? ARGUMENTO FINAL Es importante resaltar que Carino sólo ha demostrado lo que acabamos de señalar y no ha resuelto lo que denominamos la "pregunta central". Pacidio afirma que Carino a demostrado algo mucho más fuerte de lo que nosotros le hemos reconocido. Según él Carino ha concedido que: "por lo menos, durante el tiempo NO por el espacio AC, el movimiento habrá de ser continuo y no estará interrumpido ya por interrupcioncitas." [85] Esto, que salta a la vista de los ojos de Pacidio, no parece ser tan evidente. Carino acepta estar de acuerdo pero al menos nos ofrece un "amago" de demostración. Describámosla: Supongamos que entre N y O hay más interrupciones: Volveríamos de nuevo al mismo problema que acabamos de analizar. Y allí volveríamos de nuevo al encontrarnos el mismo problema. Por lo tanto seguríamos dividiendo indefinidamente mezclando paradas cada vez más pequeñas con movimientos cada vez más pequeños. Carino señala que es importante notar que: Siempre los reposos serían más que momentáneos. Los movimientos tampoco serían momentáneos. Porque si los movimientos fueran momentáneos su proporción con respecto a l as paradas sería demasiado pequeña y el cuerpo no avanzaría. COMENTARIO: Esta última implicación no está nada clara porque no sabemos cuanto miden los movimientos momentáneos (¿por qué muchos movimientos momentáneos "no darían adelanto alguno al cuerpo"?) Y tampoco sabemos porque se habla aquí de "proporción". No importa cuanto tiempo se esté quieto: si se avanzó algo, ya se avanzó, ¿o no? Así como la respuesta anterior de Carino era de satisfactoria esta no lo es. Parece haber la indicación del camino para hacer la prueba, pero este no parece ser recorrido con cuidado. Es más, en principio, si admitimos distancias mínimas y tiempos mínimos todo movimiento puede ser compuesto de paradas y saltos de un lugar a su lugar próximo (que son los movimientos que Carino deja de considerar con su supuesto *). Si, por el contrario, asumimos que no hay tales distancias mínimas y tiempos mínimos la pregunta queda abierta: ¿Es posible un movimiento en el que cada "sub-movimiento" esté interrumpido por paradas? Esta pregunta queda abierta para que ustedes la respondan. Por otro lado les pido que busquen en el texto en que momento se describe algo que parece responder una pregunta similar [les puede servir de ayuda al buscar ustedes la respuesta o al menos para reconocer la dificultad de la cuestión].	Home Bibliografía Pacidius Philaleti LA PROFESIÓN DE FE DEL FILÓSOFO Las paraditas intervaladas Arte y matemáticas

Entregar: lunes 25 de Febrero.

En clase hicimos un análisis rápido del problema de las "paraditas interpuestas". Aunque aclaramos una parte de la demostración, no pareció haber quedado bien explicado el argumento de Carino. Yo pensé que en la demostración de la falsedad de una proposición utilizaba como supuesto su negación, pero en eso estaba equivocado. Leibniz usa la "ley de no-saltos" (que es una de las consecuencias de su ley de continuidad) pero ésta es distinta de la negación de la proposición que intenta probar. Además usa otra ley que no enuncia y que yo resaltaré en el momento que sea utilizada.

Por lo tanto hice un análisis detallado del argumento, aclarando el modelo que se hace del mismo (las letras que se utilizan y su representación gráfica), y señalando cada paso y presupuesto utilizado.

La tarea de ustedes tiene dos partes:
Hacer lo mismo que yo hago pero con otra argumentación dentro del diálogo. Es importante que resalten los presupuestos explícitos e implícitos (y dentro de lo posible que les den nombres) y que quede clara la estructura del argumento. Es clave también que ustedes opinen y digan si les parece que el argumento es válido o no, indicando bien porqué. Si el argumento puede ser corregido ustedes deben presentar la corrección y si creen que demuestra una proposición que es falsa pues ustedes demuestran su falsedad.
El argumento de las paraditas tiene dos partes. La primera demuestra lo que se propone de manera casi impecable (aunque un poco enredada). La segunda, en cambio, es superficial y no me deja nada satisfecho. Al final del texto yo señalo cuál es el problema que veo e identifico la pregunta clave a responder. Les dejo a ustedes el turno ahora de buscar una respuesta, sé que es difícil, pero si alguno logra hacerlo muy probablemente habrá entendido el diálogo mucho mejor que yo.

ARGUMENTO DE LAS PARADITAS

Anteriormente a la argumentación se ha establecido:

LEY DE NO-SALTOS: dados dos lugares, si el móvil va de uno a otro, tiene que pasar por todos los lugares intermedios.

Con esto como base Carino demuestra que si la distancia entre dos momentos es mínima, la distancia entre los lugares que ocupa en esos momentos también debe ser mínima. [cambio de página 83-84]

Definición de movimiento continuo: movimiento en el cual el cuerpo en cada lugar no existe más que un momento.

Es decir no descansa, no permanece, no está quieto en ningún lugar. Es decir, el movimiento continuo no se interrumpe, no se parte en otros movimientos, es UN solo movimiento. Aquí continuo significa como por lo general "sin rupturas", es importante recalcar que lo que estamos afirmando que no se rompe (no se interrumpe) es el movimiento.

"Quiero llamar continuum a algo que no se interrumpe nunca por ningún reposo, o que puede durar talmente que el cuerpo no exista en ningún lugar (igual a sí) AB.CD.EF, o en los lugares intermedios, más que un momento." [84]

Lo contrario del movimiento continuo es el movimiento con paradas intervaladas. Es decir, un movimiento no continuo es un movimiento con paradas intermedias.

Pregunta Central: Dado un movimiento no continuo, es decir, en el que se dan paradas intervaladas, ¿todo movimiento intermedio está también interrumpido por paradas?

Pacidio lo que quiere mostrar es que el movimiento no puede estar siempre interrumpido por reposos. Y que el hecho de que se dé el movimiento implica que en durante algún lapso de su duración total el movimiento fue continuo. Es decir, que si hay movimiento, hay movimiento continuo.

[Es más, lo que quiere probar es que todo movimiento está compuesto de movimientos continuos y de reposos. Es decir, que todo movimiento que sea propiamente UN movimiento es continuo]

PRIMERA ARGUMENTACION DE CARINO

Para comenzar consideramos un movimiento con paradas intervaladas (no continuo).

Pacidio: ¿Entre las dos paradas hay movimiento?

Carino: Sí, a no ser que en vez de paradas a intervalos queramos una parada continua.

Pacidio: El tal movimiento interpuesto: o bien es momentáneo, o dura algún tiempo. [84]

Entonces la pregunta que Carino debe responder es: ¿Es momentáneo el movimiento entre las paradas?

Para su respuesta Carino asigna letras a los momentos y lugares claves (señalados, marcados) del movimiento que se está examinando. Utiliza las primeras del alfabeto para los lugares y las de la segunda mitad (a partir de M) para los tiempos.

MODELO DEL MOVIMIENTO:

El cuerpo se mueve de A a E durante el tiempo NQ .

Primer reposo: En A está durante el tiempo MN

Segundo reposo: En C está durante el tiempo OP

Por lo tanto, NO es el tiempo del paso de A a C.

Lugar de llegada: E

PQ es el tiempo del movimiento de C a E .

Representando el espacio horizontalmente y el tiempo verticalmente se vería así:

A C E

--------------------------------------------------------------------------------

Tenemos entonces un movimiento de A hasta E que dura un tiempo NQ interrumpido por una parada en C tal que entre dos paradas (en A y en C) hay movimiento. Por lo tanto se cumplen las condiciones propuestas y se ha avanzado al identificar y nombrar los momentos claves del movimiento que vamos a analizar.

Una vez planteado el problema de esta manera Carino se dispone a responder la pregunta, pero antes hace una suposición que es fundamental:

AC y CE son dos distancias no mínimas. (*)

"Y pongo que AC, CF son intervalos no mínimos, sino cualesquiera otros, p.e. la centésima parte de un jeme..." [85]

Carino quiere mostrar que: el movimiento no es momentáneo.

Y lo va a hacer por contradicción (reducción al absurdo).

Suponemos: el movimiento de A a C es momentáneo. Por lo tanto, entre los momentos N y O no hay ningún momento. Pero, AC es no mínima, es decir, hay algún lugar entre A y C, llamémoslo L. Entonces hay dos posibilidades para L:

En ningún momento el móvil está en L. En ese caso habría un SALTO. Esto contradiría nuestra "ley de no saltos".

En algún momento el móvil está en L. Pero entre los momentos N y O no hay ningún otro momento. Por lo tanto sólo podría estar en N o en O. Pero como L es un sitio distinto de A y C tendríamos a nuestro móvil en un mismo momento en dos lugares distintos y eso sería contradictorio. En este caso no se había afirmado antes la ley que se contradiría y tenemos que resaltarla. Esta podría enunciarse así: "un móvil no puede estar en un mismo momento en dos sitios distintos."

En ambos casos llegamos a contradicción, por lo tanto nuestra suposición inicial no era posible y queda demostrado que: "el movimiento de A a C no es momentáneo".

Es importante tener claro lo que se demostró [y quedó bien demostrado]:

"Dadas dos paradas en dos lugares que están a una distancia no mínima el movimiento de un sitio a otro no pudo ser momentáneo."

COMENTARIO (*)

Merece ser anotado que parece haber una ambigüedad en lo que Leibniz entiende por distancia mínima. Al pensar una distancia no-mínima (la que hay entre A y C) Leibniz escoge al azar "un céntésimo de jeme" dando a entender que bien pudo ser un milésimo o millonésimo; esto indicaría que un mínimo sería menor que cualquier n-ésima parte de un jeme. Distancia no mínima parece ser lo mismo que llama "distancia asignable" y que mediría una cierta parte de jeme.

La pregunta sería entonces ¿cuánto mide una distancia mínima?

Y esto nos lleva a preguntarnos: ¿en verdad puede componerse una "distancia asignable" de una suma de "distancias mínimas"?

ARGUMENTO FINAL

Es importante resaltar que Carino sólo ha demostrado lo que acabamos de señalar y no ha resuelto lo que denominamos la "pregunta central". Pacidio afirma que Carino a demostrado algo mucho más fuerte de lo que nosotros le hemos reconocido. Según él Carino ha concedido que: "por lo menos, durante el tiempo NO por el espacio AC, el movimiento habrá de ser continuo y no estará interrumpido ya por interrupcioncitas." [85]

Esto, que salta a la vista de los ojos de Pacidio, no parece ser tan evidente. Carino acepta estar de acuerdo pero al menos nos ofrece un "amago" de demostración. Describámosla:

Supongamos que entre N y O hay más interrupciones: Volveríamos de nuevo al mismo problema que acabamos de analizar. Y allí volveríamos de nuevo al encontrarnos el mismo problema.

Por lo tanto seguríamos dividiendo indefinidamente mezclando paradas cada vez más pequeñas con movimientos cada vez más pequeños.

Carino señala que es importante notar que:

Siempre los reposos serían más que momentáneos.
Los movimientos tampoco serían momentáneos.
Porque si los movimientos fueran momentáneos su proporción con respecto a l as paradas sería demasiado pequeña y el cuerpo no avanzaría.

COMENTARIO:

Esta última implicación no está nada clara porque no sabemos cuanto miden los movimientos momentáneos (¿por qué muchos movimientos momentáneos "no darían adelanto alguno al cuerpo"?) Y tampoco sabemos porque se habla aquí de "proporción". No importa cuanto tiempo se esté quieto: si se avanzó algo, ya se avanzó, ¿o no?

Así como la respuesta anterior de Carino era de satisfactoria esta no lo es. Parece haber la indicación del camino para hacer la prueba, pero este no parece ser recorrido con cuidado. Es más, en principio, si admitimos distancias mínimas y tiempos mínimos todo movimiento puede ser compuesto de paradas y saltos de un lugar a su lugar próximo (que son los movimientos que Carino deja de considerar con su supuesto *). Si, por el contrario, asumimos que no hay tales distancias mínimas y tiempos mínimos la pregunta queda abierta:

¿Es posible un movimiento en el que cada "sub-movimiento" esté interrumpido por paradas?

Esta pregunta queda abierta para que ustedes la respondan. Por otro lado les pido que busquen en el texto en que momento se describe algo que parece responder una pregunta similar [les puede servir de ayuda al buscar ustedes la respuesta o al menos para reconocer la dificultad de la cuestión].