pares de Vaught + minimales

La maquinaria de transferencia de pares de Vaught (y transferencia de categoricidad) está basada en

1. si T admite un par de Vaught (M,N) para φ, entonces también admite un par de Vaught para φ de modelos contables (M₀,N₀), ambos ω-homogéneos e isomorfos. Hoy vimos los detalles de esa transferencia. Si le quedaron dudas puede revisar la prueba en Ziegler (pág. 13) o en Buechler (Buechler usa mucha más compacidad). El tema general de otras transferencias de pares de modelos está relacionado con el tema de teoremas de dos cardinales.
2. si T admite un par de Vaught (M,N) para φ, entonces T tiene un modelo M de cardinalidad ω₁, con un definible φ(M) infinito contable. Esto implica inmediatamente que T no puede ser ω₁-categórica.

Las preguntas sobre pares de Vaught:

En contextos distintos de primer orden, como por ejemplo en CATs (o en clases de Henson-Iovino), en clases homogéneas y en clases dóciles:

1. ¿Hay una noción de par de Vaught?
2. ¿Se tiene transferencia de pares de Vaught entre cardinales?
3. ¿Hay una relación entre categoricidad y la no existencia de pares de Vaught, como en primer orden?

Las respuestas son difíciles. Uno de ustedes está mirando algo de esto, en el caso de clases dóciles (trabajo de Grossberg y VanDieren). Hay casos en los cuales las hipótesis son más fuertes, y puede de pronto haber descripciones más precisas. Y hay casos en los que se pueden dar respuestas más razonables. Puede haber un inicio de buena teoría de la definibilidad vía pares de Vaught, en contextos que carezcan de las herramientas de primer orden.