otros cardinales grandes
La definición de medibles mediante la existencia de la inmersión j:V→M es sumamente adaptable a otros contextos.
Hacia arriba, aunque M no puede ser igual a V, podemos pedir que M sea "más y más" parecido a V (sin llegar a ser igual). Mientras más se parezca M a V más fuerte es el axioma de gran cardinal. Así, en orden creciente de consistencia, tenemos:
Hacia abajo, tenemos cardinales que refuerzan la definición de débilmente compactos en términos de inmersiones elementales. Ejemplos de estos son los cardinales fuertemente λ-desdoblables y los largamente desdoblables.
Hay mucho más que esto - sin embargo, los supercompactos y los fuertes son de los más importantes por encima de los medibles (además de los cardinales de Woodin, que no definimos aquí). Por debajo, los débilmente compactos y los desdoblables tienen propiedades interesantes también.
Hacia arriba, aunque M no puede ser igual a V, podemos pedir que M sea "más y más" parecido a V (sin llegar a ser igual). Mientras más se parezca M a V más fuerte es el axioma de gran cardinal. Así, en orden creciente de consistencia, tenemos:
- κ es λ-fuerte ssi existe j:V→M con punto crítico κ tal que j(κ) > λ y Vλ⊂M,
- κ es λ-supercompacto ssi existe j:V→M con punto crítico κ tal que j(κ) > λ y λM⊂M,
- κ es huge (enorme) ssi existe j:V→M con punto crítico κ tal que j(κ)M⊂M.
Hacia abajo, tenemos cardinales que refuerzan la definición de débilmente compactos en términos de inmersiones elementales. Ejemplos de estos son los cardinales fuertemente λ-desdoblables y los largamente desdoblables.
Hay mucho más que esto - sin embargo, los supercompactos y los fuertes son de los más importantes por encima de los medibles (además de los cardinales de Woodin, que no definimos aquí). Por debajo, los débilmente compactos y los desdoblables tienen propiedades interesantes también.
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