la cota de Kunen

Es la única cota conocida, desde hace 30 años. La demostración que vimos en clase usa AC, y tampoco se sabe aún si es necesario (se cree que sí).

Dice que, dada una inmersión j:V→M, M no puede ser igual a V.

Recuerde que la prueba exige mirar la sucesión κ₀ := κ, ..., κ_n+1 := j(κ_n), y luego el límite λ de los anteriores.

Además, requiere demostrar (no lo escribo aquí, pero en clase se hizo en detalle) que existe una función

f:^ωλ→λ

con la siguiente propiedad: dado cualquier subconjunto X de λ de cardinal λ, f|(^ωX) : ^ωX → λ es sobreyectiva. Usamos AC para armar esa función.

Pero dada una función f con esa propiedad, podemos verificar que jf tiene la misma propiedad (usamos, entre otras cosas, que λ es punto fijo de j).

Pero entonces, para X = {α ∈ λ | α ∈ Im(j)} se tiene que si α=jf(s) para algún s∈^ωX, entonces s=j(t) para algún t, y así

α = jf(s) = jf(j(t)) = j(f(t)),

con lo cual α debe pertenecer a X, pues está en la imagen de j... pero por otro lado sabemos que X ≠ λ (¿por qué?), lo cual contradice la sobreyectividad de (jf)|(^ωX).

La anterior versión es cercana a la que P. Dehornoy escribe al inicio de su capítulo para el Handbook - con algunos errores corregidos.