inmersiones + forcing

Silver demostró por primera vez que se pueden obtener inmersiones elementales de manera genérica. Sus "generic embeddings" son de los objetos más útiles que hay en teoría de conjuntos.

La idea es que dada una inmersión k:M→N con punto crítico κ, y dados G un P-genérico sobre M y H un k(P)-genérico sobre N, podamos "levantar" k para hacer conmutar el siguiente diagrama:

Ahora bien, la única manera de lograr ésto es, dado un M-nombre τ, enviar τ_G a (k(τ))_H ... así,

k^*(τ_G) := (k(τ))_H.

Pero aún hay que ver por qué está bien definido esto, y por qué resulta elemental la función k^*. Las verificaciones son similares, y hacemos solo la primera.

Hipótesis de Silver: k''G ⊂H

Suponga que a∈M tiene dos representaciones como valor de nombre:

σ_G = a = τ_G

Lo anterior es lo mismo que decir que en M[G], σ_G = τ_G, pero esto, por el lema de la verdad, es lo mismo que decir que cierto p∈G fuerza que σ=τ.

Ahora bien, este forzamiento ocurre (¡¡¡lema de la definibilidad!!!) en M. Como k es elemental, en N se tiene que k(p) fuerza kσ = kτ.

Pero por la condición de Silver, k(p)∈k''G⊂H... luego de nuevo por el Lema de la Verdad tenemos que en N[H] vale kσ_H = kτ_H. Ahora, dada nuestra definición de k^*, esto es lo mismo que decir que en N[H],

k^*(σ) = k^*(τ)

es decir, k^* está bien definida.

Verificar que es elemental es muy similar.