extensiones primas

Isamu Noguchi Museum

La clase pasada hubo varios temas que quiero comentar. Por un lado, vimos que, bajo ω-estabilidad, existen extensiones primas sobre cualquier conjunto. No es un hecho trivial, como vimos, pero es la base de toda una familia de preguntas importantes en teoría de modelos. La pregunta general es

¿dada una teoría T, cuándo podemos garantizar que sobre cualquier conjunto A exista un modelo primo?

En general, sin hipótesis fuertes (como la ω-estabilidad), la respuesta es negativa. Sin embargo, Shelah demostró que esa hipótesis se puede debilitar a la superestabilidad de T.

T es superestable si es κ-estable, para todo κ > κ₀, para algún κ₀. Es un teorema que son equivalentes la superestabilidad de T, la globalidad del rango de Morley, la localidad de la no-ruptura.

Otro camino es demostrar que T tiene modelos primos ya no sobre todo A, sino sobre ciertos A bien especiales.

El teorema muy interesante de la vez pasada era un teorema de omisión de tipos muy útil:

si T es ω-estable, y M es un modelo no contable, entonces existe un modelo N, extensión propia de M, con M contable A ⊂ M, entonces N también omite p. N "evita realizar" tipos sobre conjuntos a lo sumo contables de M que no estuvieran ya realizados en M.

N = M(b),

el modelo construíble (primo) sobre M∪{b}, donde b es una realización (necesariamente fuera de M) del tipo

p = {ψ(x) | |φ(M)∩ψ(M)| es no contable},

y φ es una fórmula "cuasiminimal" sobre M (¿por qué existen?).

Con ese teorema se pueden armar torres que omiten tipos, de cardinalidad arbitraria.