hoy
Básicamente, versiones equivalentes de compacidad débil:
Dado κ>ω, son equivalentes:
1. κ→(κ)22
2. ∀ m,n<ω (κ→(κ)nm)
3. no hay árboles de Aronszajn sobre κ
4. Lκω satisface compacidad débil
5. ∀ C⊂Vκ ∃ M,D tq (Vκ,∈,C) < (M,∈,D)
6. ∀ M modelo de ZF- de tamaño κ con κ∈M ∀ C⊂M ∃N,D,j tqj : (M,∈,C) → (N,∈,D) es elemental, y crit(j)=κ
7. Existe un ultrafiltro κ-completo sobre el álgebra booleana de definibles sobre κ.
Dado κ>ω, son equivalentes:
1. κ→(κ)22
2. ∀ m,n<ω (κ→(κ)nm)
3. no hay árboles de Aronszajn sobre κ
4. Lκω satisface compacidad débil
5. ∀ C⊂Vκ ∃ M,D tq (Vκ,∈,C) < (M,∈,D)
6. ∀ M modelo de ZF- de tamaño κ con κ∈M ∀ C⊂M ∃N,D,j tq
7. Existe un ultrafiltro κ-completo sobre el álgebra booleana de definibles sobre κ.
Lo interesante de lo anterior (discutido en bastante detalle hoy) es que las tres primeras caracterizaciones son combinatorias, la 4 es lógica, la 5 y la 6 son de inmersiones elementales y la 7 muestra bien la conexión con medibles.
Note en los enlaces a la derecha la página de Ziegler - hay mucho material útil. El Mengenlehre es la teoría de conjuntos - las notas de teoría de modelos también son bien útiles.
2 Comments:
Una pregunta de la clase del viernes sobre compacidad débil: Sea j: (V_k, C ) --> (M, C') elemental con M un modelo transitivo. ¿Por qué razón y en qué condiciones podíamos afirmar que V_k \cap C' = C?
Y un ejercicio: si j:V-->M es elemental (M modelo transitivo), entonces M = \cup_{a \in Ord} j(V_{a}).
Si tenemos j:(N,C) -> (M, C'), con M transitivo, _y con punto critico k_, entonces C' inter V_k es un subconjunto de C' (pues si a pertenece a V_k, la fórmula C(a) vale en (N,C) luego la formula C'(j(a)) vale en (M,C'), pero j(a) = a en V_k). La otra contenencia es similar.
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