nuevas notas - edición

Hay nuevas notas (de las dos exposiciones de Mario Velásquez).

También necesito que me ayuden con lo siguiente:

Por favor revisen que las notas que aparecen en los enlaces de este blog sí sean las versiones más recientes de sus escritos. Si no lo son, por favor ¡avísenme con tiempo!

La idea es editar y armar una pequeña publicación con sus notas, quedando yo como editor, y ustedes como autores de cada pedazo.

notas preliminares - C. Argoty

Hay aquí notas preliminares de la exposición de Camilo Argoty.

más notas de exposición

también Juan Diego Caycedo envió ya una primera versión de sus notas de exposición

notas nuevas

Las notas de la exposición de Pedro Zambrano deberían ser visibles correctamente ahora (por favor confirmen). Por otro lado, están las notas nuevas de la exposición de Rafael, con la demostración de adivinanza de clubs.

página web

Finalmente empecé a actualizar mi página web. Aquí está la nueva versión.

sobre pregeometrías

De la exposición de Pedro Zambrano ya hay notas sobre pregeometrías. Zambrano presumiblemente el martes hará el acercamiento entre las fusiones de Hrushovski que presentó el viernes pasado, y la teoría de modelos de clases no elementales.

de vuelta al blog

Varios comentarios:

1. Es urgente que me envíen sus escritos lo antes posible. Es parte integral de su exposición. ¡Rafael Benjumea está en deuda!
   
2. La exposición del viernes pasado no alcanzó a cubrir el principio combinatorio "cuadrado", pero creo que Rafael hizo una presentación muy interesante de las conexiones entre algunos lemas de pcf y aritmética cardinal. Solo faltan las notas.
   
3. En lo que sigue, las exposiciones seguirán el plan siguiente:
   
   
   
   1. 12/11 y 16/11: Pedro Zambrano - Fusiones de Hrushovski y Clases Elementales Abstractas
      
   2. 19/11 y 23/11: Juan Diego Caycedo - ¡Anunciar tema! (hay varias opciones)
      
   3. 26/11: Carlos Echeverri - Tema por anunciar
      
   4. 30/11: Camilo Argoty - Estabilidad en espacios de Banach
      
   5. 3/12 y 7/12: Mario Velásquez - Sobre pares de Vaught en clases no elementales.
      
   
   

notas sobre hoy

La exposición de A. Forero dio el esquema general de la demostración, junto con algunas definiciones. Como seguramente notaron, el tema no es para nada simple, aunque Andrés aisló varios de los puntos clave de la prueba. Evidentemente, iteraciones más complejas de forcing requieren otras técnicas.

Puntos clave: levantar una inmersión elemental, descomponer el forcing j(P) como isomorfo a P*Q^v, usar que el colapso es ω₁-cerrado.

No olviden ir preparando sus notas para la exposición suya. Siguen Camilo Argoty (19.10 y 26.10), Rafael Benjumea (2.11 y 5.11). Las dos charlas de 26.10 y 2.11 serán hechas en ausencia mía. Procuren dejar mucho más material para antes y después de mi salida. Pero me alegra mucho que ustedes mismos hayan propuesto seguir (aunque sea solo los martes) mientras regreso. Ya repondremos tiempo, en todo caso.

enlace a las notas de la exposición del martes

Andrés Forero puso sus notas de la exposición del martes próximo en este lugar de la red. Recuerde que debe traer un mini-escrito (una página) con la estructura de su exposición, e ir preparando unas notas para el momento de su exposición.

RSS

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desalojo y su exposición

Dado este desalojo (y el hecho de que el jueves y viernes hay exámenes de admisión), perdemos prácticamente una semana de clase. Ya miraremos una manera de reponer el tiempo. Pero por ahora, necesito que cada uno de ustedes me presente al regresar el martes (a la exposición de Andrés Forero) una hoja con un plan del tema de exposición. Después de Forero habla Camilo Argoty.

exposición de Andrés Forero

La exposición de Andrés Forero (semana entrante) inicia el tema de "pequeños grandes cardinales" - el caso de reflexión estacionaria, basado en el artículo Large cardinal properties of small cardinals (survey), de James Cummings. (El anterior enlace está en formato dvi - también lo puede bajar en formato postscript.) Finalmente, hay una versión en pdf también (gracias a A. Forero), si prefiere.

pares de Vaught + minimales

La maquinaria de transferencia de pares de Vaught (y transferencia de categoricidad) está basada en

1. si T admite un par de Vaught (M,N) para φ, entonces también admite un par de Vaught para φ de modelos contables (M₀,N₀), ambos ω-homogéneos e isomorfos. Hoy vimos los detalles de esa transferencia. Si le quedaron dudas puede revisar la prueba en Ziegler (pág. 13) o en Buechler (Buechler usa mucha más compacidad). El tema general de otras transferencias de pares de modelos está relacionado con el tema de teoremas de dos cardinales.
2. si T admite un par de Vaught (M,N) para φ, entonces T tiene un modelo M de cardinalidad ω₁, con un definible φ(M) infinito contable. Esto implica inmediatamente que T no puede ser ω₁-categórica.

Las preguntas sobre pares de Vaught:

En contextos distintos de primer orden, como por ejemplo en CATs (o en clases de Henson-Iovino), en clases homogéneas y en clases dóciles:

1. ¿Hay una noción de par de Vaught?
2. ¿Se tiene transferencia de pares de Vaught entre cardinales?
3. ¿Hay una relación entre categoricidad y la no existencia de pares de Vaught, como en primer orden?

Las respuestas son difíciles. Uno de ustedes está mirando algo de esto, en el caso de clases dóciles (trabajo de Grossberg y VanDieren). Hay casos en los cuales las hipótesis son más fuertes, y puede de pronto haber descripciones más precisas. Y hay casos en los que se pueden dar respuestas más razonables. Puede haber un inicio de buena teoría de la definibilidad vía pares de Vaught, en contextos que carezcan de las herramientas de primer orden.

categoricidades

Del martes pasado tal vez lo más importante fueron las observaciones sobre las demostraciones del teorema de Morley en diferentes contextos.

En efecto, por un lado vimos que usando el teorema de `extensión con omisión de tipos' podemos obtener, si una teoría no es ω₁-categórica, primero un modelo M de tamaño ω₁, con un subconjunto contable A⊂M, y un tipo p∈S(A) (¡pues de lo contrario todo modelo de cardinal ω₁ sería saturado!), y luego (usando que T es ω-estable) una extensión N que sigue omitiendo p.

Iterando κ (dado un cardinal arbitrario κ), obtenemos un modelo de cardinal κ que sigue omitiendo p.

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Carlos Echeverri dio el esquema de la demostración de Morley, como aparece en Grossberg. Ese esquema es muy cercano a la prueba original, o a la que aparece en el Lazy model-theoretician guide to stability, de Shelah (1975, Comptes Rendus de la Semaine d'Étude en Théorie des Modèles, Inst. Math., Univ. Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve). Los pasos cruciales son, dada T categórica en λ > ω:

1. T es ω-estable,
   
2. Suponga que T no es categórica en μ > ω. Entonces existe M modelo de T de cardinal μ, con M no saturado - sea p∈S(A) para A subconjunto de M de tamaño κ <>

p no puede ser aislado (si lo fuera, tendría que ser realizado).

Existe un conjunto I de indiscernibles sobre A, en M, de tamaño κ⁺. Este paso fue hecho en detalle por Carlos - es una construcción muy interesante, en la cual intervienen ruptura, saturación relativa, conteo, Fodor, ...

Uno puede conseguir A₀⊂A, I₀⊂I, contables, tales que p|A₀ es no aislado sobre I₀. No es trivial, pues aunque p es no aislado, si se restringe sin cuidado se podría en principio volver aislado.

Se estira I₀ a indiscernibles J, con tipo de orden λ.

Arme el modelo construible sobre A₀∪J. Ese modelo tiene cardinal λ (¿por qué?), y debe omitir el tipo p|A₀ (esto último requiere cierto cuidado - cuentas cuidadosas).

Pero entonces... hay un modelo de tamaño λ que omite un tipo sobre un conjunto contable, y por lo tanto no es ω₁-saturado, lo cual contradice fuertemente la categoricidad de T en λ.

Este esquema ha aparecido, con variantes muy interesantes, en la prueba de categoricidad para CATs contables de Ben Yaacov.

Las CATs (Compact Abstract TheorieS) generalizan la teoría de Henson y Iovino a contextos más amplios (aunque con presencia de compacidad).

extensiones primas

Isamu Noguchi Museum

La clase pasada hubo varios temas que quiero comentar. Por un lado, vimos que, bajo ω-estabilidad, existen extensiones primas sobre cualquier conjunto. No es un hecho trivial, como vimos, pero es la base de toda una familia de preguntas importantes en teoría de modelos. La pregunta general es

¿dada una teoría T, cuándo podemos garantizar que sobre cualquier conjunto A exista un modelo primo?

En general, sin hipótesis fuertes (como la ω-estabilidad), la respuesta es negativa. Sin embargo, Shelah demostró que esa hipótesis se puede debilitar a la superestabilidad de T.

T es superestable si es κ-estable, para todo κ > κ₀, para algún κ₀. Es un teorema que son equivalentes la superestabilidad de T, la globalidad del rango de Morley, la localidad de la no-ruptura.

Otro camino es demostrar que T tiene modelos primos ya no sobre todo A, sino sobre ciertos A bien especiales.

El teorema muy interesante de la vez pasada era un teorema de omisión de tipos muy útil:

si T es ω-estable, y M es un modelo no contable, entonces existe un modelo N, extensión propia de M, con M contable A ⊂ M, entonces N también omite p. N "evita realizar" tipos sobre conjuntos a lo sumo contables de M que no estuvieran ya realizados en M.

N = M(b),

el modelo construíble (primo) sobre M∪{b}, donde b es una realización (necesariamente fuera de M) del tipo

p = {ψ(x) | |φ(M)∩ψ(M)| es no contable},

y φ es una fórmula "cuasiminimal" sobre M (¿por qué existen?).

Con ese teorema se pueden armar torres que omiten tipos, de cardinalidad arbitraria.

clase de hoy aplazada

Hola,

la clase de hoy martes ha sido aplazada. Repondremos el tiempo el próximo viernes (clase más larga, dos horas), y el próximo martes.

av

inicio de estabilidad

Hoy empezamos (en suave) estabilidad geométrica, estilo Zilber. Fuera de las notas vistas hoy (esencialmente toda la primera sección de Zilber), con los tres ejemplos cuidadosamente explicados - ACF_p, DCF₀ y la sentencia ψ_C^e, correspondiente a la estructura bisorteada que proviene de la exponenciación como homomorfismo. No quedó clara la diferencia con los complejos con exponencial usuales - fue al final de la clase. Si piensan en eso para el viernes, me gustaría dedicar unos instantes a mirar de nuevo las dos presentaciones. Estoy casi seguro de que son biinterpretables.

Por otro lado, vimos un poco del enunciado de Baldwin-Lachlan. La idea el viernes es mirar la estructura de la prueba más clásica de Morley (en esencia, la que vimos en Modelos I) - Carlos Echeverri expondrá ese tema.

Y seguiremos en slalom entre las notas de Zilber y temas extras. Esté atento al blog, pues posiblemente postearé un poco más frecuentemente ahora que los temas son menos claros que al inicio.

inmersiones + forcing

Silver demostró por primera vez que se pueden obtener inmersiones elementales de manera genérica. Sus "generic embeddings" son de los objetos más útiles que hay en teoría de conjuntos.

La idea es que dada una inmersión k:M→N con punto crítico κ, y dados G un P-genérico sobre M y H un k(P)-genérico sobre N, podamos "levantar" k para hacer conmutar el siguiente diagrama:

Ahora bien, la única manera de lograr ésto es, dado un M-nombre τ, enviar τ_G a (k(τ))_H ... así,

k^*(τ_G) := (k(τ))_H.

Pero aún hay que ver por qué está bien definido esto, y por qué resulta elemental la función k^*. Las verificaciones son similares, y hacemos solo la primera.

Hipótesis de Silver: k''G ⊂H

Suponga que a∈M tiene dos representaciones como valor de nombre:

σ_G = a = τ_G

Lo anterior es lo mismo que decir que en M[G], σ_G = τ_G, pero esto, por el lema de la verdad, es lo mismo que decir que cierto p∈G fuerza que σ=τ.

Ahora bien, este forzamiento ocurre (¡¡¡lema de la definibilidad!!!) en M. Como k es elemental, en N se tiene que k(p) fuerza kσ = kτ.

Pero por la condición de Silver, k(p)∈k''G⊂H... luego de nuevo por el Lema de la Verdad tenemos que en N[H] vale kσ_H = kτ_H. Ahora, dada nuestra definición de k^*, esto es lo mismo que decir que en N[H],

k^*(σ) = k^*(τ)

es decir, k^* está bien definida.

Verificar que es elemental es muy similar.

otros cardinales grandes

La definición de medibles mediante la existencia de la inmersión j:V→M es sumamente adaptable a otros contextos.

Hacia arriba, aunque M no puede ser igual a V, podemos pedir que M sea "más y más" parecido a V (sin llegar a ser igual). Mientras más se parezca M a V más fuerte es el axioma de gran cardinal. Así, en orden creciente de consistencia, tenemos:

• κ es λ-fuerte ssi existe j:V→M con punto crítico κ tal que j(κ) > λ y V_λ⊂M,
• κ es λ-supercompacto ssi existe j:V→M con punto crítico κ tal que j(κ) > λ y ^λM⊂M,
• κ es huge (enorme) ssi existe j:V→M con punto crítico κ tal que ^j(κ)M⊂M.

Observe que cada una de estas propiedades "acerca" M más y más a V.

Hacia abajo, tenemos cardinales que refuerzan la definición de débilmente compactos en términos de inmersiones elementales. Ejemplos de estos son los cardinales fuertemente λ-desdoblables y los largamente desdoblables.

Hay mucho más que esto - sin embargo, los supercompactos y los fuertes son de los más importantes por encima de los medibles (además de los cardinales de Woodin, que no definimos aquí). Por debajo, los débilmente compactos y los desdoblables tienen propiedades interesantes también.

la cota de Kunen

Es la única cota conocida, desde hace 30 años. La demostración que vimos en clase usa AC, y tampoco se sabe aún si es necesario (se cree que sí).

Dice que, dada una inmersión j:V→M, M no puede ser igual a V.

Recuerde que la prueba exige mirar la sucesión κ₀ := κ, ..., κ_n+1 := j(κ_n), y luego el límite λ de los anteriores.

Además, requiere demostrar (no lo escribo aquí, pero en clase se hizo en detalle) que existe una función

f:^ωλ→λ

con la siguiente propiedad: dado cualquier subconjunto X de λ de cardinal λ, f|(^ωX) : ^ωX → λ es sobreyectiva. Usamos AC para armar esa función.

Pero dada una función f con esa propiedad, podemos verificar que jf tiene la misma propiedad (usamos, entre otras cosas, que λ es punto fijo de j).

Pero entonces, para X = {α ∈ λ | α ∈ Im(j)} se tiene que si α=jf(s) para algún s∈^ωX, entonces s=j(t) para algún t, y así

α = jf(s) = jf(j(t)) = j(f(t)),

con lo cual α debe pertenecer a X, pues está en la imagen de j... pero por otro lado sabemos que X ≠ λ (¿por qué?), lo cual contradice la sobreyectividad de (jf)|(^ωX).

La anterior versión es cercana a la que P. Dehornoy escribe al inicio de su capítulo para el Handbook - con algunos errores corregidos.

medibles - ultrafiltros

Desatrasando un poco el blog...

κ es medible ssi existe un ultrafiltro no principal U κ-completo sobre κ. En este caso, vía las ultrapotencias y el colapso, existe

j_U:V→M

con punto crítico κ:

1. j|V_κ = id,
2. j(κ) > κ,
3. 2^κ ≤ (2^κ)^M ≠ j(κ) < (2^κ)⁺,
4. U∉M,
5. ^κM ⊂M, ^κ+M⊄M

¡Note que usted debe saber demostrar las anteriores!

Ahora bien, si se tiene una inmersión elemental j:V→M con punto crítico κ el conjunto

U_j := {X⊂κ | κ ∈ j(X)}

resulta ser un ultrafiltro medible.

hoy

Básicamente, versiones equivalentes de compacidad débil:

Dado κ>ω, son equivalentes:

1. κ→(κ)²₂
2. ∀ m,n<ω (κ→(κ)ⁿ_m)
3. no hay árboles de Aronszajn sobre κ
4. L_κω satisface compacidad débil
5. ∀ C⊂V_κ ∃ M,D tq (V_κ,∈,C) < (M,∈,D)
6. ∀ M modelo de ZF^- de tamaño κ con κ∈M ∀ C⊂M ∃N,D,j tq j : (M,∈,C) → (N,∈,D) es elemental, y crit(j)=κ
7. Existe un ultrafiltro κ-completo sobre el álgebra booleana de definibles sobre κ.

Lo interesante de lo anterior (discutido en bastante detalle hoy) es que las tres primeras caracterizaciones son combinatorias, la 4 es lógica, la 5 y la 6 son de inmersiones elementales y la 7 muestra bien la conexión con medibles.

Note en los enlaces a la derecha la página de Ziegler - hay mucho material útil. El Mengenlehre es la teoría de conjuntos - las notas de teoría de modelos también son bien útiles.

la última demostración

Un paso en la última demostración (ayer) estaba incorrecto. El esquema general está bien: suponga que κ es débilmente compacto, pero no límite fuerte. Entonces sea μ^<κ>μ≥κ. La idea es realmente usar que

¬[2^μ → ((2^<μ)⁺)²₂]


y no (como habíamos dicho)


¬[2^μ → (μ⁺)²₂].

La razón es que podemos encontrar un orden de tamaño 2^μ con un subconjunto denso de tamaño 2^<μ ... ¡pero no necesariamente hay denso de tamaño μ ! [¿Por qué?]

El resto de la demostración es igual: como

¬[2^μ → ((2^<μ)⁺)²₂]

claramente podemos usar monotonía para concluir que

¬[κ → (κ)²₂]

para contradecir la compacidad débil de κ.

organización de estos días

El curso arrancó oficialmente con la reunión del martes, pero lo importante es asistir al máximo posible de sesiones estas dos semanas en los Andes. Recuerde que quedan sesiones el viernes, lunes, miércoles y viernes de la próxima semana. Casi siempre en el hemiciclo del Lleras, pero mañana en el A-302 (303?).

Recomiendo ir a todo lo que pueda. En la sesión de las 14-16, mañana Pedro Zambrano hablará de fusiones (como CEAs) y pregeometrías. Planeo hablar el lunes de minimalidadES (fuerte y pseudo). El miércoles Zambrano mostrará por qué las fusiones son 3-excelentes y dóciles. Y el viernes remataré hablando de más propiedades de las clases dóciles.

Las sesiones de Enrique Casanovas (de 16 a 18), sobre hiperimaginarios, también son muy recomendadas, al igual que las de Alf Onshuus (de 10 a 12).

Después de este "arranque abrupto" empezará el curso en su horario normal, con algo de grandes cardinales y forcing.

av

empezando el curso

Hola,

vale la pena que se familiarice con esta herramienta cuanto antes. Si aún no lo sabe, un blog no es una página web tradicional. Un blog es más bien un diario en red, que puede ser personal, cultural, político, o lo que uno quiera. En nuestro caso, este es el blog de clase. Eso implica que aquí aparecerán, periódicamente (idealmente, después de cada clase), apoyos a las clases, preguntas para clase, comentarios a temas de la clase anterior, ejercicios, anuncios. Este último punto es de particular importancia. Usaré el blog para anunciar posibles cambios de horario, giros temáticos, etc.

El blog tiene una ventaja sobre la página web tradicional: la flexibilidad. No solo es facilísimo para mí "postear" (así se dice en blogspeak) frecuentemente, sino que usted tiene la posibilidad de enviar comentarios como parte del blog. Esto es sumamente útil, pues si tiene preguntas que puedan servir a los demás en el curso, puede usar este blog para comentar/preguntar.

Tópicos Avanzados de Lógica: en las notas entregadas en la primera clase (que también puede imprimir a partir de aquí) hay toda una explicación de qué es lógica matemática, qué pretende el curso, y cómo. ¡Es importantísimo tener eso claro!