Clase mayo 31 (P. Zambrano)

Decimos que κ → (λ)^r_s (donde κ y λ son cardinales y r,s naturales distintos de cero) ssi para cada conjunto S de cardinal κ y cada partición {A_i}^s_i=0 de [S]^r en s clases existe H⊂ S tal que |H|≥λ y j tal que [H]^r⊂ A_j


Intuitivamente, decimos que κ → (λ)^r_s ssi para cada conjunto S de cardinal κ y cada coloreo de [S]^r en s colores existe H⊂ S tal que |H|≥λ y que [H]^r es monocromático.


En clase vimos un argumento de por qué 6 → (3)²₂ y por qué no se tiene que 5 → (3)²₂.


Adicionalmente, vimos algunos pasos cruciales de la prueba del teorema de Ramsey finito (dados k,r,s naturales distintos de cero, existe n natural tal que n → (k)^r_s).


Enunciamos (sin demostración) el teorema de Ramsey infinito que dice que ℵ₀ → (ℵ₀)^r_s para todo r,s natural distinto de cero.


Vimos algunas aplicaciones de este teorema, como las siguientes:


• Todo conjunto p.o. infinito tiene un subconjunto infinito totalmente ordenado o en el cual todos sus elementos no son comparables 2 a 2.


• Todo conjunto p.o. infinito tiene un subconjunto infinito que es isomorfo a (N,<) o que es isomorfo a (N,>).


Pedro Zambrano.