König, Тихонов

El lema de König (teorema en ZFC) da una cantidad enorme de información sobre la exponenciación cardinal.

König: dado cualquier μ > 0, y dadas familias de cardinales (κ_i)_{i < μ} y (λ_i)_{i < μ} tales que 0 < κ_i < λ_i para cada i < μ, se tiene

∑_{i < μ}κ_i < ∏_{i < μ}λ_i


Las demostraciones fueron expuestas en clase por algunos de ustedes. Es clave detectar el uso de AE en estas.

Una primera aplicación muy sencilla y simpática es el teorema de Cantor como corolario de König: si tomamos μ = κ, κ_i = 1, λ_i = 2, obtenemos

κ < 2^κ.


Más sofisticado (detalles en clase - usar una función cofinal para armar los κ_is y los λ_is): el lema de König implica que

cf(2^κ) > κ.


Esta es información realmente novedosa: por ejemplo, esto implica que, aunque 2^ℵ₀ puede ser ℵ₁, ℵ₂, ℵ₃, etc., ¡NO puede ser igual a ℵ_ω! Tampoco (por lo mismo) puede ser igual a ℵ_ω+ω, etc.


Ejercicio: usando König, demuestre que ℵ_ω^ℵ₀ tiene que ser mayor que ℵ_ω.


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Del inicio de definiciones que vimos hacia (la mitad de) la equivalencia entre AE y el teorema de Tíjonov, revise (por ejemplo en Munkres) las de topología, abierto, cerrado, frontera, clausura, interior. Revise los ejemplos que vimos.

Y recuerde que les pedí que investigaran cómo son las topologías de orden asociadas a los órdenes de los ordinales ω+1, ω+ω, ω+ω+1, ω₁, etc. ¡Para el martes!