axioma de elección

Estudiamos la semana que pasó varias cosas en torno a AE:

1. AE - el enunciado: dada una familia F de conjuntos no vacíos, existe una función s : F → ∪ F tal que s(F)∈F, para todo F∈F (decimos que s es una "función selectora" para F).
   
   
   la situación básica
   
   
2. Lo anterior muchas veces no es necesario (como axioma aparte). Por ejemplo, en un caso extremo, si todos los elementos de la familia F son síngletons, no es necesario AE para armar la función s . O, en un caso más interesante, si los conjuntos en F son por ejemplo todos conjuntos no vacíos de números naturales, no es necesario AE: basta, por ejemplo, definir s(F) como el mínimo elemento de F. Pero AE sí es necesario en el caso general.
3. Compare estas dos situaciones: F₁ consta de todos los intervalos abiertos de números reales, F₂ consta de todos los conjuntos abiertos de números reales. ¿Cuál de las dos familias tiene funciones selectoras que podemos construir? ¿Cuál no?
4. Son equivalentes AE, LZ (Lema de Zorn) y PBO (Principio del Buen Orden). Demostramos los detalles de esa equivalencia en clase.
5. Muchas veces usamos LZ como un argumento sobre una "familia de aproximaciones" a algún objeto que queremos demostrar que existe. Así, la prueba usual de la existencia de bases para espacios vectoriales, con LZ, pasa por considerar la familia de todos los conjuntos independientes de vectores (las "aproximaciones a una posible base"), demostrar la clausura de las cadenas ascendentes (aquí, ⊂-ascendentes)... y usar el elemento maximal que garantiza LZ - mostrando que debe ser una base.
6. Al igual que la existencia de bases para espacios vectoriales, muchas otras construcciones realmente fundamentales en la matemática post-1900 dependen de AE... o al menos de buena parte de este. Así, son consecuencias de AE (y ¡no se pueden demostrar tan solo en ZF!) las siguientes: existencia de bases para espacios vectoriales, unión contable de conjuntos contables es contable, existencia de ideales maximales, existencia de ultrafiltros, teorema de Tijónov, producto cartesianos de conjuntos no vacíos es no vacío, teorema de Hahn-Banach...
7. Pero por otro lado, el Axioma de Elección ha resultado tener consecuencias extrañas - patológicas si uno las toma sin cierto cuidado. Las más famosas de estas son, tal vez, la existencia de un subconjunto no medible de los reales y la paradoja de Banach-Tarski, según la cual existe una descomposición en un número finito de pedazos de S² (la esfera unitaria en R³) tal que al recomponerlos de cierta manera adecuada, ¡¡¡terminan siendo isométricos a la unión de dos esferas unitarias!!!

El enlace en wikipedia a la paradoja de Banach-Tarski parece correcto.