AE, Vitali (1905), König, independencia, Tíjonov

Ya estamos llegando al final del curso. Adjuntamos a la lista de equivalentes a AE un par de ítems:

1. AE
   
2. LZ
   
3. PBO
   
4. Producto cartesiano de conjuntos no vacíos es no vacío
   
5. Teorema de Tíjonov (producto de compactos es compacto)
   

De estos demostramos en detalle la equivalencia entre los tres primeros (con el cuarto es casi inmediato), y solo la mitad de la equivalencia con Tíjonov (demostrar el teorema topológico, usando AE, es todo un teorema grande del curso de topología - naturalmente no lo hacemos aquí - pero demostrar que Tíjonov implica AE sí lo haremos el próximo martes).

Vitali (1905): existe un conjunto de reales que no es medible Lebesgue. Este resultado, extraño si uno pretende identificar "medible" con la intuición física, lo demostramos en detalle en clase. Resumiendo (y saltándome un montón de pasos), esta es la idea: considere la relación de equivalencia ≡ en R dada por r≡s ssi r-s es racional. Usando AE, arme un conjunto V que consta exactamente de un único representante por cada ≡-clase de equivalencia, y tal que V⊂[0,1]. Usamos las dos propiedades de las medidas

• μ(X+a) = μ(X), para todo real a ,
  
• si (X_i)_{i < ω} es una familia de conjuntos disyuntos dos a dos, entonces μ(∪_iX_i) = Σ_i μ(X_i)
  

Observe que

[0,1] ⊂ ∪_{q∈[-1,1]∩Q} (V + q) ⊂ [-1,2].

Finalmente, usando las propiedades mencionadas de medida, concluya que V no puede tener medida:

• Si μ(V) = 0, entonces μ(∪_{q∈[-1,1]∩Q} (V + q)) = 0, con lo cual 1 = μ([0,1]) = 0, absurdo.
  
• Si μ(V) = ε > 0, entonces μ(∪_{q∈[-1,1]∩Q} (V + q)) = ∞ ... pero entonces 3 = μ([-1,2]) > ∞ ... absurdo...
  

Nota: faltan posts sobre Tíjonov, sobre König, etc. Esté pendiente.