tarea para el jueves próximo

Ahora que (casi) tenemos los axiomas de Zermelo-Fraenkel, podemos justificar muchas construcciones. Ojo: como aún no hemos visto el Axioma de Reemplazo, aún hay ciertos conjuntos que no podemos construir.

Fuera de los ejercicios asignados en el syllabus de clase, usted debe traer el jueves escritos los siguientes 4 ejercicios (adaptados de Holz, Steffens y Weitz):

1. Asegúrese de dar una construcción con todos los pasos de los siguientes conjuntos:

0, 1, 2, ω, s(ω) = ω ∪ {ω}

si a y b son conjuntos, y usamos la convención mediante la cual representamos la pareja ordenada (a,b) usando {a,{a,b}}, construya usando los axiomas los siguientes conjuntos

a x b
{P(x)|x∈a}
si a≠∅, entonces ∩a es conjunto

2. Demuestre que [a,b]={a,{a,b}} tiene la propiedad de los pares ordenados ([a,b]=[a',b'] ssi a=a' y b=b').

3. Sea f : A→ B una función. Defina G : P(B) → P(A) mediante

G(X) = f^-1(X) = {x∈ A|f(x)∈X}.

Demuestre que G es realmente una función.

Demuestre que G es inyectiva ssi f es sobreyectiva.

4. Para el orden dado en tablero hoy, calcule minimales, maximales, etc. (¡todo!) de la circunferencia de centro en el origen y radio 2. Son en total OCHO dibujos que debe entregar usando la convención verde-rojo usada en clase. No aceptaré dibujos sin esa convención.

Lo anterior hace parte de su nota, como un quiz. Recibiré las tareas hasta el momento de clase (9 am).

Por último, hay un BONUS para el MARTES 22 (un 5.0 extra para quien lo traiga resuelto correctamente):

Ejercicio bonus: demuestre que el axioma de pares se puede derivar de los demás axiomas de ZF. Ayuda:

1. Justifique por qué {∅,{∅}} es un conjunto.
2. Sean a y b conjuntos arbitrarios, y considere la fórmula ψ(x,y) = [(u=∅ ∧ v=a) ∨ (u={∅} ∧ v=b)], para aplicar el Axioma de Reemplazo.