hoy

Hoy (finalmente) discutimos el axioma de Reemplazo. Primero que todo es un esquema axiomático, al igual que Comprensión. Dada una fórmula φ(x,y) que sea "funcional en x " (es decir, dado cualquier x , existe un único y tal que φ(x,y) vale), tenemos una instancia del axioma de Reemplazo así:

Reemplazo_φ: dado un conjunto a ,

b={y∈a|φ(x,y) vale, para cierto x en a}

es conjunto.

A diferencia de los demás axiomas, no hay por ahora ejemplos sencillos de construcciones que usen reemplazo. Más adelante, veremos (¡ojo!) que para construir el ordinal ω+ω requerimos (una instancia de) Reemplazo.

La tarea del jueves quedó aplazada para el martes, pero ahora deben entregar adicionalmente el siguiente ejercicio - también adaptado de HSW:

Sean A y B conjuntos no vacíos. Sea F una familia de conjuntos dada por F={X_(a,b)|(a,b)∈AxB}, tal que

X_(a,b) ∩ X_(a,c) = ∅

para todo a∈A , y para todo b,c ∈B tales que b≠c.

1. Muestre con los axiomas de Zermelo-Fraenkel la existencia de las familias mencionadas en la ecuación que sigue, y


2. Demuestre que

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Por otro lado, después de discutir sobre clases de equivalencia y funciones, y sobre la noción de cardinal, vimos el

Teorema de Cantor Dado un conjunto X, |X| < |P(X)| - es decir (de acuerdo con las definiciones vistas en clase), dado un conjunto X, existen funciones inyectivas de X en P(X), pero no existe ninguna función sobre.

La prueba fue hecha en detalle en clase - realzo aquí que el argumento usa una diagonalización. No es esta la única vez que aparecerá un argumento de diagonalización en el curso.