funciones y "medición de tamaño" de conjuntos

Hoy nos dedicamos a seguir armando conexiones entre el tamaño de un conjunto y propiedades de funciones.

A es más pequeño que B ssi existe una función uno a uno de A en B - esto se denota |A|≤|B|.

A es equipotente con B ssi existe una función biyectiva f:A→B - esto se denota mediante |A|=|B|.

|A|<|B| quiere decir entonces que existe una función uno a uno de A en B, pero no existe ninguna que sea sobre, de A en B. Con esta notación, el Teorema de Cantor dice que para todo X, |X|<|P(X)|.

---

Una pregunta natural es la siguiente (Del Corral hizo esta pregunta en clase): si sabemos que existen funciones uno a uno f:A→B y g:B→A ... ¿podemos concluir que existe una biyección de A en B? La respuesta es sí - pero no es inmediato: hubo un clase un intento de un estudiante de dar una prueba "sencilla", pero vimos que garantizar la inyectividad al "mezclar" (digamos) f y g^-1 no es fácil.

Teorema (Cantor - Bernstein): si existen funciones uno a uno f:A→B y g:B→A, entonces A y B son equipotentes.

En clase empezamos a armar la demostración.

Sean entonces f:A→B y g:B→A funciones uno a uno.

Partimos A en tres zonas disjuntas Z_i, Z_p y Z_∞.

¡Definiremos (el martes) la biyección teniendo en cuenta estas tres zonas!