Sesión III: Unicidad de Modelos límite (resumen de la sesión del 21 de febrero)

En la sesión del 21 de febrero Andrés Villaveces introdujo uno de los principales temas a trabajar durante el seminario, a saber, la unicidad de modelos límite en clases elementales abstractas. El teorema principal que se va a demostrar es el de la unicidad de modelos límites:

Antes de demostrar el teorema, es conveniente reflexionar lo que se quiere hacer en un marco más global. La pregunta general que se busca responder es la siguiente: ¿Bajo qué condiciones podemos garantizar unicidad módulo isomorfismo de cierto tipo de estructuras? Para responder este tipo de preguntas es necesario, frecuentemente, añadir hipótesis conjuntistas y/o modelo-teóricas.

A continuación exponemos una breve historia de algunas respuestas a la pregunta de unicidad formulada anteriormente y sus implicaciones.

1) ``Categoricity of Theories in L_κω, when κ is a measurable cardinal'' (1996), Saharon Shelah y Oren Kolmann. Se demuestra que si una L_κω teoría es categórica en algún cardinal mayor o igual que κ, y κ es medible, entonces la clase K = Mod(T) posee la propiedad de amalgamación.

2) ``Categoricity for abstract classes with amalgamation'', Saharon Shelah. Asumiendo que K con la propiedad de amalgamación es categórica en dos cardinales sucesivos y sucesores λ⁺ y λ⁺⁺, se demuestra unicidad de modelos saturados. Aquí se utilizan Modelos de Ehrenfeucht-Mostowski.

3) ``Toward Categoricity for Classes with no Maximal Models'', Saharon Shelah, Andrés Villaveces. En este artículo se demuestra la unicidad de modelos límites en clases elementales abstractas, asumiendo varias hipótesis sobre la clase (que ésta admite amalgamación y no posee modelos maximales) e hipótesis conjuntistas adicionales (existencia de diamantes débiles). Además se requiere la siguiente hipótesis: la unión de bases de amalgamación es también una base de amalgamación.

4) En su tesis de doctorado, Monica VanDieren retomó el trabajo hecho en 3), modificando las hipótesis modelo teóricas. En su trabajo utilizó fuertemente sistemas y límites dirigidos, y un método que podría describirse como Back and Forth multidimensional. Cabe resaltar que en su trabajo se destaca su manera de atacar la parte más difícil de la prueba de unicidad, ``algebrizándola'', por así decirlo (aunque esta es una manera simplificada, informal y vaga de describir el método utilizado).

En particular los trabajos 3) y 4) enfrentaron la gran dificultad de que no es fácil en general garantizar la existencia de bases de amalgamación, o la clausura de ellas.

5) ``Limit Models In Classes With Amalgamation'', Rami Grossberg, Monica VanDieren, Andrés Villaveces. este es el artículo que Andrés V. expondrá durante el seminario. Aquí no se asumen hipótesis conjuntistas, y la combinatoria utilizada es poca. Se utiliza una técnica de Back And Forth bidimensional.