Resumen sesión febrero 7

En el estudio de la transferencia de categoricidad en la clase de modelos de una teoría contable de primer orden, juega un papel muy importante la unicidad (módulo isomorfismo) de modelos con el mismo cardinal que son saturados (la prueba de este último hecho es un argumento estandar de back and forth).

La idea intuitiva de una prueba del teorema de Morley consiste en suponer la falla de categoricidad en algún cardinal no contable por lo que existirá un modelo con dicho cardinal que no es saturado. Dicha falla de saturación es posible traducirla de alguna manera al cardinal donde si hay categoricidad, y como es posible construir un

modelo saturado en dicho cardinal esto nos lleva a una contradicción.

Algunas subclases de clases elementales de p.o. junto con la relación "ser subestructura elemental" no resultan ser una clase elemental (como por ejemplo la clase de los grupos libres de torsión), aunque presentan algunas de las cerraduras y propiedades que tiene una clase Mod(T). La noción de clase elemental abstracta es una generalización de algunas de estas cerraduras y propiedades.

Dentro de las clases elementales abstractas, hay diversos "contextos" (propiedades adicionales que son consideradas) tales como las clases excelentes, clases dóciles, etc. Una pregunta natural, es preguntarnos sobre la existencia de teoremas de transferencia de categoricidad si trabajamos el alguno de estos "contextos".

Una idea que se puede rescatar del resultado conocido en las clases Mod(T) con T contable, es buscar propiedades de un modelo que garantizan unicidad (modulo isomorfismo) en un cardinal, y tratar de aprovechar dicha propiedad para intentar una prueba de alguna forma de transferencia de categoricidad en el "contexto" de nuestro interés.