Cierre: el pasado lunes cerramos con dos cosas:

• Una presentación de cómo eliminar la hipótesis de docilidad (tameness) en la demostración de categoricidad ascendente. Este es un nuevo esquema debido a Grossberg, VanDieren y Villaveces, que combina el teorema de omisión de tipos de Morley con los resultados anteriores de Shelah (artículo [Sh 394]) y Grossberg-VanDieren.
  
• Miguel Jara hizo una presentación de algunos teoremas de Hyttinen y Tuuri, y de Shelah y Hyttinen sobre conexiones entre OTOP, DOP y juegos de Ehrenfeucht-Fraïssé.
  

Teorema Principal (sesión del 16 de mayo)

En la sesión de hoy se demostrará el teorema principal del artículo de Shelah. El siguiente es un resumen con algunas pruebas. En todos los teoremas (salvo el 4.8) asumiremos que la teoría T cumple con el siguiente conjunto de condiciones (que llamaremos conjunto *):

1. T es estable en |T|,
2. Todo modelo de T es localmente saturado, y dados M, N modelos de T, con M subestructura elemental de N, a en M, y una fórmula theta(x, a) no algebraica, theta(N, a) no está contenido en M,
3. Deg[x = x] es un ordinal.
Recordemos que en particular si T es categórica en algún cardinal mayor que |T|, entonces T satisface el conjunto * de condiciones.

Otra abreviatura: Dado A un conjunto, NoAlg(A) denotará el conjunto de tipos en S(A) no algebraicos. Ahora veamos algunos de los teoremas que servirán de herramientas para el teorema principal:

hoy

la clase de hoy queda aplazada hasta el lunes 2 de mayo

notas de la vez pasada

Finalmente, aquí están las notas de la sesión pasada. Haga click en la imagen para bajar el archivo.

Delta- Tipos

Aquí está la prueba de que Delta-tipos con Delta finito son equivalentes a phi-tipos. Cualquier observación y correcciones son bienvenidas.



Ah, y un ejercicio:

Sesión III: Unicidad de Modelos límite (resumen de la sesión del 21 de febrero)

En la sesión del 21 de febrero Andrés Villaveces introdujo uno de los principales temas a trabajar durante el seminario, a saber, la unicidad de modelos límite en clases elementales abstractas. El teorema principal que se va a demostrar es el de la unicidad de modelos límites:

Antes de demostrar el teorema, es conveniente reflexionar lo que se quiere hacer en un marco más global. La pregunta general que se busca responder es la siguiente: ¿Bajo qué condiciones podemos garantizar unicidad módulo isomorfismo de cierto tipo de estructuras? Para responder este tipo de preguntas es necesario, frecuentemente, añadir hipótesis conjuntistas y/o modelo-teóricas.

A continuación exponemos una breve historia de algunas respuestas a la pregunta de unicidad formulada anteriormente y sus implicaciones.

1) ``Categoricity of Theories in L_κω, when κ is a measurable cardinal'' (1996), Saharon Shelah y Oren Kolmann. Se demuestra que si una L_κω teoría es categórica en algún cardinal mayor o igual que κ, y κ es medible, entonces la clase K = Mod(T) posee la propiedad de amalgamación.

2) ``Categoricity for abstract classes with amalgamation'', Saharon Shelah. Asumiendo que K con la propiedad de amalgamación es categórica en dos cardinales sucesivos y sucesores λ⁺ y λ⁺⁺, se demuestra unicidad de modelos saturados. Aquí se utilizan Modelos de Ehrenfeucht-Mostowski.

3) ``Toward Categoricity for Classes with no Maximal Models'', Saharon Shelah, Andrés Villaveces. En este artículo se demuestra la unicidad de modelos límites en clases elementales abstractas, asumiendo varias hipótesis sobre la clase (que ésta admite amalgamación y no posee modelos maximales) e hipótesis conjuntistas adicionales (existencia de diamantes débiles). Además se requiere la siguiente hipótesis: la unión de bases de amalgamación es también una base de amalgamación.

4) En su tesis de doctorado, Monica VanDieren retomó el trabajo hecho en 3), modificando las hipótesis modelo teóricas. En su trabajo utilizó fuertemente sistemas y límites dirigidos, y un método que podría describirse como Back and Forth multidimensional. Cabe resaltar que en su trabajo se destaca su manera de atacar la parte más difícil de la prueba de unicidad, ``algebrizándola'', por así decirlo (aunque esta es una manera simplificada, informal y vaga de describir el método utilizado).

En particular los trabajos 3) y 4) enfrentaron la gran dificultad de que no es fácil en general garantizar la existencia de bases de amalgamación, o la clausura de ellas.

5) ``Limit Models In Classes With Amalgamation'', Rami Grossberg, Monica VanDieren, Andrés Villaveces. este es el artículo que Andrés V. expondrá durante el seminario. Aquí no se asumen hipótesis conjuntistas, y la combinatoria utilizada es poca. Se utiliza una técnica de Back And Forth bidimensional.

Ejercicios propuestos en la sesión del lunes 21

A continuación se encuentran los ejercicios propuestos en la sesión pasada.

Propiedad E

Definición: Dada T una teoría de primer orden, diremos que T posee la propiedad (E) si existe un modelo M de T, un subconjunto infinito de M, A, y una fórmula phi(x1, ..., xn) tal que para cualesquier a1, ..., an elementos distintos de A, existen permutaciones t y s (tau, sigma en el dibujo) tales que en M se satisface phi[ at1, ...atn] y no se satisface phi[as1, ..., asn]. A continuación se encuentra un esquema de la propiedad:



La propiedad E puede verse como una generalización del orden. Más precisamente, T, la teoría de órdenes lineales, tiene la propiedad del orden [tome M como la estructura de los naturales, A su universo mismo y phi(x, y) la fórmula x <>]. Intuitivamente, las teorías que poseen la propiedad (E) son complejas, y dan lugar a muchos tipos.

resumen de la sesión pasada

Aún está incompleto, pero ahí va una versión de mis notas de la sesión del lunes en que habló Miguel Jara. Este próximo lunes comienzo en serio la prueba de unicidad de modelos límite.

Resumen sesión febrero 7

En el estudio de la transferencia de categoricidad en la clase de modelos de una teoría contable de primer orden, juega un papel muy importante la unicidad (módulo isomorfismo) de modelos con el mismo cardinal que son saturados (la prueba de este último hecho es un argumento estandar de back and forth).

La idea intuitiva de una prueba del teorema de Morley consiste en suponer la falla de categoricidad en algún cardinal no contable por lo que existirá un modelo con dicho cardinal que no es saturado. Dicha falla de saturación es posible traducirla de alguna manera al cardinal donde si hay categoricidad, y como es posible construir un

modelo saturado en dicho cardinal esto nos lleva a una contradicción.

Algunas subclases de clases elementales de p.o. junto con la relación "ser subestructura elemental" no resultan ser una clase elemental (como por ejemplo la clase de los grupos libres de torsión), aunque presentan algunas de las cerraduras y propiedades que tiene una clase Mod(T). La noción de clase elemental abstracta es una generalización de algunas de estas cerraduras y propiedades.

Dentro de las clases elementales abstractas, hay diversos "contextos" (propiedades adicionales que son consideradas) tales como las clases excelentes, clases dóciles, etc. Una pregunta natural, es preguntarnos sobre la existencia de teoremas de transferencia de categoricidad si trabajamos el alguno de estos "contextos".

Una idea que se puede rescatar del resultado conocido en las clases Mod(T) con T contable, es buscar propiedades de un modelo que garantizan unicidad (modulo isomorfismo) en un cardinal, y tratar de aprovechar dicha propiedad para intentar una prueba de alguna forma de transferencia de categoricidad en el "contexto" de nuestro interés.

las charlas

Quedó la programación de charlas así:

1. [Sh 31] (Categoricidad No Contable) febrero 14 y 28, marzo 14, abril 4 y 18, mayo 2.
2. Unicidad de modelos límites febrero 7 y 21, marzo 7 y 28.
3. Acciones de grupos abril 11 y 25, mayo 9 y 23.

Ayer solo alcanzamos a definir el contexto general. Para el lunes, vale la pena que lean la sección de introducción de [Sh 31], al igual que el inicio de la sección 1.

Bienvenidos

Este es el blog del seminario. Si quiere participar muy activamente, puede solicitar ser miembro del blog, y poner posts directamente.

Aquí hay una descripción básica del seminario.

Horario: lunes, de 16 a 18.

Para el I semestre de 2005 ofrezco el seminario de postgrado "Teoría de Modelos Avanzada - Categoricidades". Los estudiantes de postgrado de la Nacional la pueden inscribir como Seminario I, II o III. Los estudiantes de los Andes pueden usar el convenio. Los estudiantes de pregrado deben acercarse a hablar con Humberto Sarria para poder inscribir esta materia.

Nota: los que quieran recibir crédito en este seminario deben hablar conmigo pronto, y deben hacer mínimo dos exposiciones. Adicionalmente, deben trabajar en un proyecto para el seminario.

Temas:

1. Unicidad de modelos límite. Este es un trabajo reciente, con Rami Grossberg y Monica VanDieren, que planeo presentar. Generaliza resultados previos de varios autores, en el sentido de probar existencia y unicidad de un substituto de modelos saturados, en casos en los cuales los modelos saturados no funcionan bien.


2. Categoricidad no contable. Este es un tema fundamental, de exposición.
   


3. Elementos de estabilidad geométrica. Planeo ver algunos temas básicos, tanto en contextos de primer orden como en contextos más generales.