Viernes 29 de octubre

Un breve esquema de la prueba del teorema de completitud
es el siguiente:

Primero, dada Γ una teoría consistente, se demuestra la existencia
de un conjunto de símbolos de constante {c_i | i<ω}
que no están en L(Γ) y de una teoría Γ_H⊃Γ
en ese lenguaje extendido, que es de Henkin.

Luego, se completa dicha teoría (es decir, se toma Γ_H⊂Γ^*
en el mismo lenguaje extendido, que es completa)

Definiendo la relación τ∼σ ssi Γ^* deduce
que τ=σ (donde τ y σ son L(Γ^*)-términos),
se toma la L(Γ^*)-estructura A cuyo universo es (L(Γ^*)-términos)/∼,
la interpretación de cada símbolo de constante c es [c], donde
siendo F símbolo de función de aridad n se toma F^A([τ₁],...,[τ_n])=[F(τ₁,...,τ_n)]
y para cada símbolo de relación R de aridad m se define R^A([τ₁],...,[τ_m])
ssi Γ^*deduce R(τ₁,...,τ_m)
(hay que verificar que están bien definidos!!!)

La clave está en ver que A es un modelo de Γ^* (y por tanto
de Γ, luego la restricción de A al lenguaje L(Γ) es un modelo
de Γ).

Adicionalmente vimos una prueba del teorema de compacidad:
Γ es consistente ssi cada subconjunto de Γ es consistente. Aquí
se usa fuertemente el hecho de que una deducción es una sucesión
finita de fórmulas. Combinando este hecho con el teorema
de completitud tenemos lo siguiente: Γ es tiene un modelo
ssi cada subconjunto de Γ tiene un modelo.

Este hecho es uno de los teoremas mas útiles que se tiene en lógica
matemática. Una sencilla aplicación del teorema de compacidad es
la prueba de la existencia de modelos no estandar de la aritmética. La
idea es añadir al lenguaje de la aritmética un nuevo símbolo
de constante c y aplicar el teorema de compacidad (versión semántica)
a la teoría Th(ℕ)∪{sⁿ0<c | n<ω}.