de vuelta al blog

Para mañana (viernes 12): hay sesión de problemas (quiz correspondiente a parte de su 20% de participación en clase)... me interesan todos los problemas asignados de la sección 2.5 (páginas 145 y 146) y todos los que puedan hacer de la sección 2.6 (pp. 162 a 164).

En particular, el ejercicio 5 de la p. 146 me interesa: es ver que el teorema de los cuatro colores finito implica la versión infinita (usando compacidad). El 6 también quiero que lo presenten mañana en tablero. Dos de los problemas 7, 8 y 9 también. En todos hay que usar el teorema de compacidad adecuadamente.

Hasta ahora, en clase solo iniciamos un uso del teorema de compacidad: para demostrar Löwenheim-Skolem ascendente, recuerde que agregamos κ constantes nuevas al lenguaje (así, L' = L ∪ {c_i : i < κ })

T' = T ∪ {c_i ≠ c_j : i < j < κ }

T' es finitamente consistente (¿por qué? tome un subconjunto finito de T', y use que T tiene modelos infinitos - escriba con cuidado las interpretaciones), luego por compacidad es consistente. Pero si (M,c_i^M)_{i < κ}
es modelo de T', entonces, las interpretaciones de las c_i (para i < κ) deben ser todas distintas... luego M|L es un modelo de T de cardinalidad por lo menos κ.

Por otro lado, ya teníamos una versión (débil) de Löwenheim-Skolem descendente: todo modelo de una teoría T en lenguaje contable, con modelos infinitos, debe tener un modelo contable: ¡el modelo de Henkin que construimos en clase resulta contable!

En algunos casos, ustedes mismos descubrieron esto: por ejemplo, si la teoría T es

Th(R,+, . ,0,1),

al armar el modelo de Henkin para T obtienen un modelo contable, y no los reales. Este modelo contable resulta (isomorfo a) los algebraicos reales.