de categoricidad

Una teoría Γ es categórica si tiene exactamente un modelo módulo isomorfismo. Por los teoremas vistos la semana pasada, realmente casi no hay teorías categóricas: apenas una teoría Γ tiene UN modelo infinito, tiene modelos infinitos de cardinales arbitrarios. De modo que esa definición solo funciona en teorías de modelos finitos (revise - ¡debe poder explicar! - que la teoría de un modelo finito siempre es categórica).

De modo que suavizamos la definición - dado un cardinal infinito κ una teoría Γ es κ-categórica si tiene exactamente un modelo de cardinalidad κ módulo isomorfismo.

Preguntas:

1. La teoría de un conjunto infinito es κ-categórica en todo cardinal infinito κ. Explique por qué.
   
2. La teoría de grupos NO es categórica en ningún cardinal infinito. De nuevo explique por qué.
3. La teoría de orden lineal denso sin extremos es ω-categórica. Use la idea de Cantor del "vaivén". Pueden presentar esto en clase para bonus el miércoles.
   

Veremos que las teorías sin modelos finitos que son κ-categóricas para algún cardinal infinito κ son completas. Este es el "criterio de Vaught".