Andrés C. Gaviria

Cod. 200110992

J.M.: He aquí un problema de difícil solución. Supóngase que existe una mesa que mide dos metros. En un extremo de la mesa llámese a aquel punto (-1), se encuentra una bolita. Y supóngase que en el otro extremo de la mesa, llámese a aquel punto (1), se coloca una barrera del más sólido diamante. Supóngase además que entre la mitad de la mesa, llámese a aquel el punto (0), y el punto (1) se coloca otra barrera. El lugar que ocupa la segunda barrera podrá ser llamado el punto (1/2). Ahora si sucesivamente coloco barreras en (1/4), (1/8), (1/16) etc. y luego pongo en movimiento a la bolita, la pregunta es ¿en qué punto habrá de parar aquella?

C1, C2 y C3: Problema de dificil solución el que nos plantéa J.M. dejenos pensar por un momento...

C1: ¡Lo tengo, ya lo sé! La bolita no ha de parar nunca, pues si afirmo que para en un lugar determinado, sea por ejemplo en la barrera ubicada en el punto (1/1500), encontraré barreras anteriores a aquella como lo son por ejemplo las ubicadas en los puntos (1/1501) y (1/1502). Así para cualquier barrera, y quiero recalcar ese cualquier, encontraré una barrera anterior, de tal forma que la bolita no parará en ninguna de las barreras.

J.M.: Sin embargo he afirmado que he puesto barreras en los puntos, y el hecho de que exista una barrera anterior a cualquier otra que se escoja, no permite concluir que no existan barreras, muy al contrario se concluye que existen muchas, y si existen muchas barreras es de suyo evidente que la bolita deberá parar en algún momento.

C1: Tienes toda la razón J.M., sin embargo no tengo nada más que decir.

J.M.: ¿Alguno de los demas personajes restantes quiere venir y aportar otra solución?.

C2: J.M. Creo que la bolita ha de parar en (0).

J.M.: Explícanos por favor las razones que te hacen pensar aquello.

C2: Es muy sencillo J.M. pues a medida que coloco las barreras cada una se irá acercando más y más al punto (0). Es decir (1/2) está mas cerca de (0) de lo que está (1), y (1/4) está más cerca de (0) de lo que está (1/2). Por lo tanto la última barrera estará ubicada en (0). Además puedo decir que he evitado el problema presentado por C1, pues de la barrera puesta en (0) es de la única que puedo decir que no existe una barrera anterior a ella. Pues por mucho que divida la distancia entre (1) y (0), es imposible que resulte un punto anterior al mismo (0).

J.M.: Muy astuto señor C2, sin embargo de la misma manera en que usted concluye que es imposible obtener una barrera anterior a la ubicada en (0), yo le pregunto, pues me surge la inquietud, de si a partir de la división de una distancia conmensurable, como es la distancia entre (0) y (1), puedo obtener algo que ya no sea una distancia.

C2: Debo confesar que no comprendo muy bien su objeción J.M.

J.M.: Simplemente esto, la distancia entre (0) y (1/2) es evidentemente ½. Y entre (0) y (1/4) es ¼. Así, cualquier punto resultante de la división, por grande que usted quiera, estará distanciad del punto 0. Pues incluso el punto (1/99999999) estará distanciado del punto (0) por 1/99999999 unidades.

C2: Tiene usted parte de razón, pero lo que sucede es que aunque usted está escogiendo divisiones en efecto muy pequeñas, no ha escogido aún la más pequeña, pues la más pequeña es 1/∞. La distancia entre (0) y (1/∞) es en efecto inexistente, es decir ambos son el mismo punto. Con lo cual creo que he demostrado ya sin cabida a refutaciones que la primera barrera está en (0) y que por lo tanto será allí donde pare la bolita.

J.M.: Delicadas cuestiones las que usted plantéa pues aún no me ha demostrado que la división que usted propone sea en efecto posible y mucho menos aún sino por medio de una dudosa comparación, que la división dará en efecto 0.

C2: ¿Y por que tal división sería imposible? ¿Por qué no daría 0?

J.M.: Si usted acepta que 1/∞ entonces tendra que aceptar por las mismas razones que 2/∞ tendra como resultado 0. ¿Cierto o no?.

C2.: ¡Por supuesto!, ¿acaso me toma usted por un niño de prekinder?.

J.M.: Me acepta usted que si para cualquier número natural n, n/∞ es igual a 0, entonces (n+1)/∞ es igual a 0. Estoy en lo correcto ¿o no?

C2: ¡Claro que está en lo correcto! Es evidente que sumarle un uno con respecto al infinito no cambiará las cosas. Igual el resultado dará 0.

J.M.: Pues bien, por lo que me ha aceptado, la propiedad de que el resultado de la división en infinitas partes de cómo resultado 0, ha sido probada para la totalidad de los números naturales, o debería decir, para la infinidad de los numeros náturales. Pues como fichas de domino en la que si cae la primera cae la siguiente y la siguiente, de igual forma usted me ha dicho que si el número n cumple la propiedad entonces el número n+1 tambien la ha de cumplir. Y puesto que me ha dicho que el número 1 la cumple, así la cumpliran el 2,3, 4 5, 6, etc. Si me permite el uso tan liberal que usted ha hecho del concepto de infinito creo que estoy en lo correcto al afirmar que ∞/∞ también es igual a 0.

J.M. Muy bien C3 es su turno de respuesta.

C3: Para mi que todo depende del momento en el cual usted imprima movimiento a la bolita J.M.

J.M.: No comprendo su respuesta, ¿qué tiene que ver aquí el momento?

C3: Pues sí. Todo depende de si usted mueve la bolita despues de que ha colocado la barrera en (1/2) o en (1/4) o en (1/1000). Es decir todo depende de la última barrera que usted haya colocado. Si ha tenido bastante tiempo para colocar barreras, puedo adivinar aproximadamente que la bolita ha de parar en la barrera (1/100), pero si ha tenido poco tiempo la bolita pararía en la barrera colocada en (1/4) o en alguna cercana. Pues el tiempo no le habría sido el suficiente para colocar barreras ubicadas mucho más lejos.

J.M.: Creo que no ha entendido muy bien el problema señor C3. Se trata de un problema hipotético no de un experimento que requiera un montaje físico.

C3.: Perfecto. Entonces si es un problema hipotético le pido por favor que me responda, cuantas barreras ha puesto en su experimento mental, de tal forma que de ahí pueda yo concluir en donde ha de parar la bolita.

J.M.: ¡No! Todavía no ha entendido, el punto es que yo puedo poner cuantas barreras se me antoje, sea en mi experimento mental, o sea en un experimento físico.

C3.: Me pide usted entonces que adivine cuantas barreras se le ha antojado poner. ¿Es eso?. Pues le informo que siendo así me es imposible contestar a su pregunta pues yo de telepatía sé muy poco.

J.M.: Muy gracioso C3, lo que le digo es que yo puedo poner infinitas barreras, y siempre habrá una más cercana a la bolita que la última que puse.

C3: Y yo lo que le digo es que sea físicamente o sea mentalmente usted es incapaz de poner infinitas barreras.

J.M.: ¿Cómo es eso? ¿Cómo puede sustentar usted que soy incapaz de hacerlo?

C3: De la siguiente manera. Comience usted en su experimento mental, y quiero hacer incapié en el carácter puramente mental del experimento, comience usted digo, a poner barreras en su cabeza y cada vez que ponga una numérela y díganos el número en voz alta, cuando haya terminado de ponerlas si es posible, si no está muy cansado, avisenos.

J.M.: No voy a caer en sus trucos, es evidente que me gastaría toda la eternidad poniendo barreras.

C3: De esa manera le pruebo que incluso mentalmente usted es incapaz de poner infinitas barreras, puesto que no dispone de toda la eternidad para hacerlo. Incluso mentalmente el experimento es imposible.

J.M.: Suponga entonces que ya las he puesto, que he puesto cada una de éllas. Le pido por favor que resuelva el problema que le propongo, no le será difícil suponer que ya he puesto las barreras si se pone serio y deja de sabotearme con niñerías.

C3: Le digo seríamente que me es imposible suponer que ya las ha puesto todas. Y ya le he dado mis argumentos.

J.M.: Está usted confundiendo una imposibilidad de tipo fáctico, como el hecho de que no puedo colocar las infinitas barreras y lo está haciendo pasar por una imposibilidad de tipo lógico utilizando la artimaña de que no lo puedo hacer incluso mentalmente. Pero el hecho de que no lo pueda hacer mentalmente no quiere decir que exista en realidad una imposibilidad lógica, pues para nadie es difícil entender que tal cosa si es posible.

C3: Es usted quien está confundido. Pues tanto para usted, como para el señor C2, el infinito es algo realizable. El punto es que se confunde al infinito como mera posibilidad, y al infinito como un final posible, y su experimento supone que en efecto el infinito ha sido alcanzado, mientras que yo le digo que si bien es posible poner tantas barreras como a usted se le antoje, es decir el infinito como posibilidad, eso no quiere decir que usted podrá poner en efecto infinitas barreras. Vuelvo a pedirle que me responda cuantas barreras ha puesto usted en su experimento mental de manera tal que yo pueda responderle la pregunta. Y si usted quiere poner una barrera más de las que ya ha puesto le pido también que me lo indique. Así cómo si desea poner quince, treinta o mil más. Está en todo su derecho pués el número de barreras que usted puede poner es inagotable, pero le pido de caridad que me responda cuantas más ha puesto.